🔢 תרגול סדרות חשבוניות והנדסיות — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $26$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=3$: $S_3=\frac{2(3^3-1)}{3-1}=\frac{2(27-1)}{2}=\frac{2\cdot 26}{2}=26$. המסיחים השגויים: $27$ — שגיאה נפוצה של חישוב $q^n$ בלבד ללא חיסור $1$; $54$ — כפל שגוי של $a_1\cdot q^n=2\cdot 27$; $80$ — שימוש שגוי ב-$n=4$ במקום $n=3$.
2. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=8+(3-1)\cdot 15=8+30=38$.
3. $6$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{3}{1-\frac{1}{2}}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6$.
4. $54$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{1}{3}}=\frac{36}{\frac{2}{3}}=54$.
5. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $32=2+(7-1)d$, כלומר $6d=30$, ולכן $d=5$.
6. $2$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $24=4+(11-1)d$, כלומר $10d=20$, ולכן $d=2$.
7. $102$ — $S_{6}=\frac{6}{2}\big(2\cdot 7+(6-1)\cdot 4\big)=\frac{6}{2}\big(14+20\big)=\frac{6}{2}\cdot 34=102$.
8. $5$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $49=9+(6-1)d$, כלומר $5d=40$, ולכן $d=5$.
9. $38$ — נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d=5+(4-1)\cdot 11=5+33=38$.
10. $9$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{1+17}{2}=9$.
11. $27$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{18}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18}{\frac{2}{3}}=27$.
12. $7$ — מהנוסחה $a_n=a_1+(n-1)d$ נקבל $52=3+(8-1)d$, כלומר $7d=49$, ולכן $d=7$.
13. $7$ — בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא ממוצע שכניו: $x=\frac{3+11}{2}=7$.
14. $80$ — נשתמש בנוסחת סכום סדרה הנדסית סופית: $S_n=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1}$. נציב $a_1=2$, $q=3$, $n=4$: $S_4=\dfrac{2(3^4-1)}{3-1}=\dfrac{2\cdot(81-1)}{2}=\dfrac{2\cdot80}{2}=80$.
15. $45$ — מכיוון ש-$|q|<1$ הטור מתכנס. $S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{15}{1-\frac{2}{3}}=\frac{15}{\frac{1}{3}}=45$.