📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $25$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$.
2. $\frac{8}{17}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(15/17\right)^2}=\frac{8}{17}$.
3. $25$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$.
4. $\frac{9}{41}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $9^2+40^2=41^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{9}{41}$.
5. $\frac{5}{13}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(12/13\right)^2}=\frac{5}{13}$.
6. $\frac{48}{73}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $48^2+55^2=73^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{48}{73}$.
7. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ (הצלע הצמודה לזווית $A$ היא $AC=12$, והיתר הוא $AB=15$).
8. $\frac{16}{65}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $16^2+63^2=65^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{16}{65}$.
9. $0$ — $\sin(0^\circ)=0$.
10. $\frac{1}{4}$ — $\cos^2(60^\circ)=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$.
11. $8$ — הניצב המבוקש שווה ליתר כפול sin30°. בשני המקרים היחס הוא 1/2, ולכן הניצב שווה ל־16·(1/2)=8.
12. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(8/17\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $x$ חדה).
13. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{5}{5}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
14. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{2}{2}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
15. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.