📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{12}{13}$ — $\cos A = \frac{12}{13}$.
2. $\frac{20}{99}$ — $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20/101}{99/101}=\frac{20}{99}$.
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
4. $6$ — $\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$, ולכן היתר $=2\cdot3=6$.
5. $60^\circ$ — מהטבלה: $\tan(60^\circ)=\sqrt{3}$, ולכן $x=60^\circ$.
6. $\frac{8}{15}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{8/17}{15/17}=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
7. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5}$.
8. $x=45^\circ \lor x=315^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $45^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=45^\circ \lor x=315^\circ$.
9. $\frac{65}{97}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $65^2+72^2=97^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{65}{97}$.
10. $\frac{8}{15}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{8/17}{15/17}=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
11. $45^\circ$ — מהטבלה: $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ולכן $x=45^\circ$.
12. $2$ — הניצב המבוקש שווה ליתר כפול sin30°. בשני המקרים היחס הוא 1/2, ולכן הניצב שווה ל־4·(1/2)=2.
13. $90^\circ$ — מהטבלה: $\sin(90^\circ)=1$, ולכן $x=90^\circ$.
14. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ — $\sin(60^\circ)-\sin(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
15. $\frac{13}{85}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $13^2+84^2=85^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{13}{85}$.