📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $1$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan(60^\circ)\cdot\tan(30^\circ)=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$.
2. $60^\circ$ — $\cos A=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=60^\circ$.
3. $15$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{625-400}=\sqrt{225}=15$.
4. $\cos(65^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(25^\circ)=\cos(65^\circ)=\cos(65^\circ)$.
5. $\frac{20}{21}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{20/29}{21/29}=\dfrac{20}{21}=\frac{20}{21}$.
6. $8$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{17^2-15^2}=\sqrt{289-225}=\sqrt{64}=8$.
7. $10$ — הניצב המבוקש שווה ליתר כפול sin30°. בשני המקרים היחס הוא 1/2, ולכן הניצב שווה ל־20·(1/2)=10.
8. $0^\circ$ — מהטבלה: $\cos(0^\circ)=1$, ולכן $x=0^\circ$.
9. $\frac{15}{112}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{15/113}{112/113}=\frac{15}{112}$.
10. $\frac{1}{2}$ — במשולש שווה-צלעות עם צלע באורך $1$, כאשר מורידים גובה מאחד הקודקודים, מתקבל משולש ישר-זווית עם זוויות $30°$-$60°$-$90°$. היתר הוא $1$ והצלע הנגדית ל-$30°$ היא $\frac{1}{2}$, ולכן $\sin(30°)=\frac{\text{נגדית}}{\text{יתר}}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$.
11. $\frac{20}{29}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(21/29\right)^2}=\frac{20}{29}$.
12. $30^\circ$ — מהטבלה: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, ולכן $x=30^\circ$.
13. $\frac{33}{65}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $33^2+56^2=65^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{33}{65}$.
14. $\frac{20}{21}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{20/29}{21/29}=\dfrac{20}{21}=\frac{20}{21}$.
15. $12$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12$.