📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{60}{91}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{60/109}{91/109}=\frac{60}{91}$.
2. $5$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$.
3. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(8/17\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $x$ חדה).
4. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\sin(60^\circ)-\sin(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
5. $8$ — $\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$, ולכן היתר $=2\cdot4=8$.
6. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{\text{הצלע מול }A}{\text{היתר}} = \frac{BC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
7. $0^\circ$ — מהטבלה: $\tan(0^\circ)=0$, ולכן $x=0^\circ$.
8. $6$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$.
9. $\frac{7}{24}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{7/25}{24/25}=\dfrac{7}{24}=\frac{7}{24}$.
10. $\frac{12}{13}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}$.
11. $\frac{8}{17}$ — לפי $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(15/17\right)^2}=\frac{8}{17}$.
12. $\frac{16}{65}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $16^2+63^2=65^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{16}{65}$.
13. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{7}{7}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
14. $\frac{8}{15}$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{8/17}{15/17}=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
15. $\frac{36}{85}$ — לפי הזהות $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, ובהיות הזווית חדה בוחרים בשורש החיובי. מתקיים $36^2+77^2=85^2$, ולכן $\sin\alpha=\frac{36}{85}$.