תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $30^\circ$ — מהטבלה: $\tan(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, ולכן $x=30^\circ$.
2. $0$ — $\cos(90^\circ)=0$.
3. $1$ — $\sin(30^\circ)+\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
4. $25$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{225+400}=\sqrt{625}=25$.
5. $\frac{20}{21}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{20/29}{21/29}=\dfrac{20}{21}=\frac{20}{21}$.
6. $0$ — $\sin(0^\circ)=0$.
7. $17$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17$.
8. $15$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$.
9. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(8/17\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $x$ חדה).
10. $3$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.
11. $10$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=20\times\frac{1}{2}=10$.
12. $10$ — $\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$, ולכן היתר $=2\cdot5=10$.
13. $\cos(65^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(25^\circ)=\cos(65^\circ)=\cos(65^\circ)$.
14. $4$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=8\times\frac{1}{2}=4$.
15. $1$ — $\tan(45^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
16. $60^\circ$ — $\cos A=\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$, ולכן $A=60^\circ$.
17. $\frac{20}{29}$ — $\sin A = \frac{20}{29}$.
18. $\frac{21}{29}$ — $\cos A = \frac{21}{29}$.
19. $\frac{5}{12}$ — $\tan A = \frac{5}{12}$.
20. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
21. $5$ — לפי פיתגורס: ניצב $=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$.
22. $7$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=14\times\frac{1}{2}=7$.
23. $x=45^\circ \lor x=315^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $45^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=45^\circ \lor x=315^\circ$.
24. $1$ — $\sin(45^\circ)\cdot\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{2}{2}=1$.
25. $5$ — לפי משפט פיתגורס: היתר $=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
26. $60^\circ$ — מהטבלה: $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $x=60^\circ$.
27. $45^\circ$ — מהטבלה: $\tan(45^\circ)=1$, ולכן $x=45^\circ$.
28. $10$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=20\times\frac{1}{2}=10$.
29. $\frac{7}{25}$ — $\sin A = \frac{7}{25}$.
30. $1$ — $\tan(60^\circ)\cdot\tan(30^\circ)=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$.
31. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — $\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
32. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — במשולש ישר-זווית שווה-שוקיים ($45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$) עם שוקיים באורך $1$, האלכסון שווה $\sqrt{2}$. לכן $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
33. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ — $\sin(60^\circ)-\sin(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
34. $1$ — $2\cos(60^\circ)=2\cdot\frac{1}{2}=1$.
35. $6$ — $\sin(30^\circ)=\dfrac{1}{2}$, ולכן היתר $=2\cdot3=6$.