תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $8$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=16\times\frac{1}{2}=8$.
2. $6$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=12\times\frac{1}{2}=6$.
3. $1$ — $4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=4\cdot\frac{1}{4}=1$.
4. $1$ — $\cos(0^\circ)+\sin(0^\circ)=1+0=1$.
5. $1$ — $\sin(30^\circ)+\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
6. $2$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=4\times\frac{1}{2}=2$.
7. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
8. $0$ — $\cos(90^\circ) = 0$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
9. $30^\circ$ — $\sin A = \dfrac{\text{צלע נגדית}}{\text{יתר}} = \dfrac{1}{2}$. מכיוון ש-$\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$, מתקבל $A = 30^\circ$.
10. $10$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=20\times\frac{1}{2}=10$.
11. $x=60^\circ \lor x=120^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $60^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=60^\circ \lor x=120^\circ$.
12. $\frac{3}{5}$ — $\sin A = \frac{3}{5}$.
13. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
14. $1$ — $\tan(45^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
15. $\frac{4}{5}$ — $\cos A = \frac{4}{5}$.
16. $9$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=18\times\frac{1}{2}=9$.
17. $\frac{3}{4}$ — $\tan A = \frac{3}{4}$.
18. $x=60^\circ \lor x=300^\circ$ — הפתרון הבסיסי הוא $60^\circ$, והפתרון הכללי בתחום הוא: $x=60^\circ \lor x=300^\circ$.
19. $\cos(75^\circ)$ — $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$, ולכן $\sin(15^\circ)=\cos(75^\circ)=\cos(75^\circ)$.
20. $1$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$ עבור כל זווית, ובפרט $30^\circ$.
21. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
22. $\frac{8}{17}$ — $\sin A = \frac{8}{17}$.
23. $3$ — הצלע שמול $= $ יתר $\times \sin(30^\circ)=6\times\frac{1}{2}=3$.
24. $5$ — הצלע הצמודה $= $ יתר $\times \cos(60^\circ)=10\times\frac{1}{2}=5$.
25. $\frac{20}{21}$ — $\tan A = \frac{20}{21}$.
26. $1$ — $\tan(30^\circ)\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{3}{3}=1$.
27. $2$ — $\tan(45^\circ)+\tan(45^\circ)=1+1=2$.
28. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — $\tan(45^\circ)\cdot\cos(45^\circ)=1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
29. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — במשולש ישר-זווית שווה-שוקיים ($45^\circ$-$45^\circ$-$90^\circ$) עם שוקיים באורך $1$, האלכסון שווה $\sqrt{2}$. לכן $\sin(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
30. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2 x+\cos^2 x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{1-\left(8/17\right)^2}=\frac{15}{17}$ (חיובי כי $x$ חדה).
31. $1$ — $\sin(90^\circ) = 1$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.
32. $45^\circ$ — $\tan A=\dfrac{11}{11}=1$, ולכן $A=45^\circ$ (משולש שווה-שוקיים ישר-זווית).
33. $\frac{8}{15}$ — $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{8/17}{15/17}=\dfrac{8}{15}=\frac{8}{15}$.
34. $0^\circ$ — מהטבלה: $\cos(0^\circ)=1$, ולכן $x=0^\circ$.
35. $\sqrt{3}$ — $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$ — ערך מיוחד שכדאי לזכור.