15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $tan (\frac{3 π}{4})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{3}$
(ג) $- 1$ ✓
(ד) $1$
2.מהו $cos (2 π)$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $1$ ✓
(ד) $0$
3.במשולש $a = 5, b = 8$ והזווית ביניהם $C = 6 0^{\circ}$ . מהו $c$ ?
(א) $129$
(ב) $13$
(ג) $89$
(ד) $49 = 7$ ✓
4.מהו $sin (\frac{3 π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$
5.נתון $cos α = - \frac{3}{5}$ ו- $α$ ברביע שני. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{3}{5}$
(ב) $\frac{4}{5}$ ✓
(ג) $- \frac{3}{5}$
(ד) $- \frac{4}{5}$
6.מהו $sin (\frac{5 π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $- \frac{2}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{1}{2}$
7.השלימו את הזהות: $cos^{2} α - sin^{2} α = ?$
(א) $1$
(ב) $sin (2 α)$
(ג) $tan (2 α)$
(ד) $cos (2 α)$ ✓
8.כמה רדיאנים שווה הזווית $36 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $2 π$ ✓
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{6}$
9.מהו $cos (22 5^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{2}{2}$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
10.מהו $tan (4 5^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$
(ב) $3$
(ג) $1$ ✓
(ד) $0$
11.מהו $sin (13 5^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
12.מהו $cos (9 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$ ✓
13.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{3}$ רדיאנים?
(א) $6 0^{\circ}$ ✓
(ב) $3 0^{\circ}$
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
14.פתרו את המשוואה $sin x = - \frac{1}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ג) $x = - 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ד) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
15.השלימו את הזהות: $sin^{2} α + cos^{2} α = ?$
(א) $1$ ✓
(ב) $sin 2 α$
(ג) $2$
(ד) $0$

מפתח תשובות

$-1$ — $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ נמצא ברביע השני, וזווית הייחוס שלו היא $180^\circ-135^\circ=45^\circ$. ברביע השני הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin(3\pi/4)}{\cos(3\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1$.
$1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(2\pi\right)=1$.
$\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$\cos(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos(2\alpha)$.
$2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$1$ — מתקיים $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$0$ — הערך $\cos(90^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$60^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.
$x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. מכיוון ש-$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, זווית העזר היא $30^\circ$; מכיוון שהערך הנתון שלילי ($\sin x=-\frac{1}{2}$), בוחרים $\alpha=-30^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
$1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'