📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. $90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
3. $\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(150^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
4. $x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — $\cos x=0$ מתאפס בזוויות שבהן הנקודה על מעגל היחידה נמצאת על ציר ה-$y$, כלומר $x=90^\circ$ ו-$x=270^\circ$. באופן כללי הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb{Z}$: עבור $k=0$ מתקבל $x=90^\circ$, ועבור $k=1$ מתקבל $x=270^\circ$ — שני הערכים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$.
5. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
6. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.
7. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
9. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
10. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
11. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $\frac{\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$.
13. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, ברביע הראשון. $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (לאחר רציונליזציה של המכנה).
14. $15$ — $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
15. $x=60^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+180^\circ k$.