📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
2. $180^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
3. $x=\pm30^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm30^\circ+360^\circ k$.
4. $-\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.
5. $360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
6. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
7. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
9. $37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
10. $x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.
11. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
13. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
14. $-\frac{7}{25}$ — מציבים $\cos\alpha=\frac{3}{5}$: $\cos^2\alpha=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}$. לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
15. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.