📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
2. $\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.
3. $x=30^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+180^\circ k$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
5. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
7. $-\sqrt{3}$ — $300^\circ$ ברביע הרביעי, זווית הייחוס $60^\circ$: $\sin(300^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(300^\circ)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ (קוסינוס חיובי ברביע ד'). לכן $\tan(300^\circ)=\frac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$.
8. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
9. $0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
10. $\frac{3\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $270^\circ=270\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{2}$.
11. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(120^\circ)=\frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)}=-\sqrt{3}$.
12. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
13. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
15. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.