📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
2. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
3. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. $225^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$.
5. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
6. $\sin\alpha$ — לפי נוסחת ההפרש לסינוס: $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$. מציבים $A=180^\circ,\ B=\alpha$, ומשתמשים בכך ש-$\sin180^\circ=0$ ו-$\cos180^\circ=-1$: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin180^\circ\cos\alpha-\cos180^\circ\sin\alpha=0\cdot\cos\alpha-(-1)\cdot\sin\alpha=\sin\alpha$.
7. $\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
8. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
9. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
10. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.
13. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
14. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
15. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.