📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. $x=45^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=45^\circ,\ x=225^\circ$.
3. $\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
4. $\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
5. $\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
6. $\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
7. $\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
8. $x=45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+180^\circ k$.
9. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
10. $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — אפשר לגזור את נוסחת ההפרש לקוסינוס מנוסחת הסכום: $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$. מכיוון ש-$\cos$ זוגית ($\cos(-\beta)=\cos\beta$) ו-$\sin$ אי-זוגית ($\sin(-\beta)=-\sin\beta$), מקבלים $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cdot(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
11. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
12. $x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.
13. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
14. $\sin\alpha$ — $90^\circ-\alpha$ היא הזווית המשלימה ל-$\alpha$ (שתי הזוויות מסתכמות ל-$90^\circ$). לפי זהות הזוויות המשלימות, הקוסינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית המשלימה לה: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
15. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.