📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
2. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $270^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{2}=270^\circ$.
4. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
5. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
6. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
7. $37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
8. $-\frac{7}{25}$ — מציבים $\cos\alpha=\frac{3}{5}$: $\cos^2\alpha=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}$. לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
9. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1$.
10. $2\sin\alpha\cos\alpha$ — נוסחת הזווית הכפולה לסינוס. לכן התשובה היא $2\sin\alpha\cos\alpha$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — $\cos x=0$ מתאפס בזוויות שבהן הנקודה על מעגל היחידה נמצאת על ציר ה-$y$, כלומר $x=90^\circ$ ו-$x=270^\circ$. באופן כללי הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb{Z}$: עבור $k=0$ מתקבל $x=90^\circ$, ועבור $k=1$ מתקבל $x=270^\circ$ — שני הערכים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$.
13. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
14. $8$ — $S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin90^\circ=8\cdot1=8$.
15. $-1$ — $315^\circ$ נמצאת ברביע הרביעי ($270^\circ<315^\circ<360^\circ$), שם $\cos$ חיובי ו-$\sin$ שלילי, ולכן $\tan$ שלילי. זווית העזר: $360^\circ-315^\circ=45^\circ$. לכן $\tan(315^\circ)=-\tan(45^\circ)=-1$.