📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
2. $8$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot\frac12}{\frac12}=8$.
3. $\frac{120}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
4. $0$ — הערך $\sin(0^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
5. $x=45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+180^\circ k$.
6. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
7. $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$.
8. $120^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.
9. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.
10. $20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.
11. $60^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.
12. $37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
13. $-\sqrt{3}$ — $300^\circ$ ברביע הרביעי, זווית הייחוס $60^\circ$: $\sin(300^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(300^\circ)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ (קוסינוס חיובי ברביע ד'). לכן $\tan(300^\circ)=\frac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$.
14. $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ — אחת מצורות נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
15. $1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.