📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.
2. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. $x=60^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+180^\circ k$.
5. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
6. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
7. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
8. $\cos(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos(2\alpha)$.
9. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
10. $-1$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת בדיוק על הציר השלילי של $y$ במעגל היחידה, כלומר בנקודה $(0,-1)$. הסינוס שווה לשיעור ה-$y$ של הנקודה, ולכן $\sin(270^\circ)=-1$.
11. $360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
12. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
13. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$ ו-$\cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (רביע שלישי, שני הסימנים שליליים), לכן $\tan(210^\circ)=\frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
14. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
15. $0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.