📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(330^\circ)=\frac{\sin(330^\circ)}{\cos(330^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. $\frac{24}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
3. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
4. $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$.
5. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
6. $0$ — הערך $\sin(0^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
7. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(60^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\sqrt{3}$.
8. $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מזהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, מחלקים את שני האגפים ב-$\cos^2\alpha$ (כאשר $\cos\alpha\neq0$): $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}$. מכיוון ש-$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha$ ו-$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1$, מתקבל $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
9. $-\sqrt{3}$ — $300^\circ$ ברביע הרביעי, זווית הייחוס $60^\circ$: $\sin(300^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(300^\circ)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ (קוסינוס חיובי ברביע ד'). לכן $\tan(300^\circ)=\frac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$.
10. $-1$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת בדיוק על הציר השלילי של $y$ במעגל היחידה, כלומר בנקודה $(0,-1)$. הסינוס שווה לשיעור ה-$y$ של הנקודה, ולכן $\sin(270^\circ)=-1$.
11. $1$ — $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$ (רביע שלישי). $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
12. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
13. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
14. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
15. $-\sqrt{3}$ — $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$ נמצא ברביע הרביעי, וזווית הייחוס שלו היא $360^\circ-300^\circ=60^\circ$. ברביע הרביעי הסינוס שלילי והקוסינוס חיובי: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sin(5\pi/3)}{\cos(5\pi/3)}=\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}=-\sqrt{3}$.