15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $tan (18 0^{\circ})$ ?
(א) $0$ ✓
(ב) $3$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $1$
2.במשולש $a = 5, b = 8$ והזווית ביניהם $C = 6 0^{\circ}$ . מהו $c$ ?
(א) $129$
(ב) $13$
(ג) $89$
(ד) $49 = 7$ ✓
3.כמה רדיאנים שווה הזווית $15 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{5 π}{6}$ ✓
4.השלימו את הזהות: $1 - cos^{2} α = ?$
(א) $sin^{2} α$ ✓
(ב) $1$
(ג) $cos^{2} α$
(ד) $tan^{2} α$
5.נתון $sin α = \frac{3}{5}, cos α = \frac{4}{5}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{7}{25}$ ✓
(ב) $\frac{24}{25}$
(ג) $\frac{16}{25}$
(ד) $- \frac{7}{25}$
6.מהו $cos (\frac{π}{6})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
7.מהו $sin (\frac{π}{2})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
8.כמה רדיאנים שווה הזווית $6 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$ ✓
(ב) $\frac{π}{4}$
(ג) $\frac{π}{2}$
(ד) $\frac{π}{6}$
9.פתרו את המשוואה $tan x = 0$ (פתרון כללי).
(א) $x = 18 0^{\circ} k$ ✓
(ב) $x = 9 0^{\circ} k$
(ג) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ד) $x = 36 0^{\circ} k$
10.מהו $cos (π)$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- 1$ ✓
11.פתרו את המשוואה $cos x = \frac{3}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = \pm 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = \pm 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
12.נתון $cos α = \frac{12}{13}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{12}{13}$
(ב) $\frac{5}{13}$ ✓
(ג) $\frac{13}{5}$
(ד) $- \frac{5}{13}$
13.מהו $cos (\frac{3 π}{2})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $0$ ✓
14.השלימו את הזהות: $1 - sin^{2} α = ?$
(א) $cos^{2} α$ ✓
(ב) $tan^{2} α$
(ג) $sin^{2} α$
(ד) $1$
15.מהו $cos (24 0^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$

מפתח תשובות

$0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
$\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
$\frac{5\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $150^\circ=150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$.
$\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
$\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
$\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
$x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
$-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
$x=\pm30^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm30^\circ+360^\circ k$.
$\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
$0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
$\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
$-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'