15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $cos (\frac{5 π}{3})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{3}{2}$
2.מצאו את כל פתרונות המשוואה $sin x = \frac{3}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 6 0^{\circ}, x = 12 0^{\circ}$ ✓
(ב) $x = 12 0^{\circ}, x = 24 0^{\circ}$
(ג) $x = 3 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
(ד) $x = 6 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
3.מהו הערך המינימלי של $y = 3 cos x - 1$ ?
(א) $2$
(ב) $- 1$
(ג) $- 3$
(ד) $- 4$ ✓
4.מצאו את כל פתרונות המשוואה $sin x = - \frac{1}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 21 0^{\circ}, x = 33 0^{\circ}$ ✓
(ב) $x = 21 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
(ג) $x = 24 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
(ד) $x = 3 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
5.מהו $cos (\frac{2 π}{3})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ד) $\frac{2}{2}$
6.השלימו את הזהות: $1 - sin^{2} α = ?$
(א) $cos^{2} α$ ✓
(ב) $tan^{2} α$
(ג) $sin^{2} α$
(ד) $1$
7.מהו $cos (15 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $- \frac{3}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $0$
8.מהו $sin (31 5^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{2}{2}$ ✓
9.כמה רדיאנים שווה הזווית $18 0^{\circ}$ ?
(א) $π$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{3}$
10.כמה רדיאנים שווה הזווית $36 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $2 π$ ✓
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{6}$
11.נתון $sin α = \frac{3}{5}, cos α = \frac{4}{5}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{7}{25}$ ✓
(ב) $\frac{24}{25}$
(ג) $\frac{16}{25}$
(ד) $- \frac{7}{25}$
12.כמה רדיאנים שווה הזווית $12 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{3}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{2 π}{3}$ ✓
13.השלימו את הזהות: $cos (- α) = ?$
(א) $- cos α$
(ב) $sin α$
(ג) $cos α$ ✓
(ד) $- sin α$
14.כמה רדיאנים שווה הזווית $22 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{5 π}{4}$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{4}$
15.לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ . אם $a = 10, A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ , מהו $b$ ?
(א) $20$ ✓
(ב) $5$
(ג) $15$
(ד) $10$

מפתח תשובות

$\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
$x=60^\circ,\ x=120^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=120^\circ$.
$-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
$x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
$\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
$2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
$\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
$\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
$\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
$20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'