📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=45^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=45^\circ,\ x=225^\circ$.
2. $\sin\alpha$ — $90^\circ-\alpha$ היא הזווית המשלימה ל-$\alpha$ (שתי הזוויות מסתכמות ל-$90^\circ$). לפי זהות הזוויות המשלימות, הקוסינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית המשלימה לה: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
3. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
4. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
5. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
6. $\frac{24}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
7. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
9. $-1$ — הזווית $\frac{7\pi}{4}$ נמצאת ברביע הרביעי, עם זווית ייחוס $\frac{\pi}{4}$. לכן $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו-$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ומכאן $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$.
10. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
11. $-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.
12. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
13. $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$.
14. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
15. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.