15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.פתרו את המשוואה $sin x = 0$ (פתרון כללי).
(א) $x = 9 0^{\circ} k$
(ב) $x = 18 0^{\circ} k$ ✓
(ג) $x = 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
2.השלימו את הזהות: $1 - sin^{2} α = ?$
(א) $cos^{2} α$ ✓
(ב) $tan^{2} α$
(ג) $sin^{2} α$
(ד) $1$
3.מהו $cos (\frac{π}{3})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
4.מהו $sin (6 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
5.כמה רדיאנים שווה הזווית $4 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{4}$ ✓
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{2}$
6.מהו $sin (2 π)$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $0$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
7.כמה רדיאנים שווה הזווית $22 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{5 π}{4}$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{4}$
8.במשולש $a = 7, b = 3$ והזווית ביניהם $C = 6 0^{\circ}$ . מהו $c^{2}$ ?
(א) $58$
(ב) $37$ ✓
(ג) $79$
(ד) $67$
9.כמה רדיאנים שווה הזווית $18 0^{\circ}$ ?
(א) $π$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{3}$
10.השלימו את הזהות: $sin (9 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $cos α$ ✓
(ב) $tan α$
(ג) $sin α$
(ד) $- cos α$
11.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{5 π}{6}$ רדיאנים?
(א) $15 0^{\circ}$ ✓
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $3 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
12.מהי התקופה של $y = sin (2 x)$ (במעלות)?
y = \sin(2x)
(א) $36 0^{\circ}$
(ב) $72 0^{\circ}$
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $18 0^{\circ}$ ✓
13.השלימו את הזהות: $cos (α + β) = ?$
(א) $cos α cos β + sin α sin β$
(ב) $sin α cos β + cos α sin β$
(ג) $sin α cos β - cos α sin β$
(ד) $cos α cos β - sin α sin β$ ✓
14.מהו $sin (12 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
15.פתרו את המשוואה $sin x = 1$ (פתרון כללי).
(א) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓

מפתח תשובות

$x=180^\circ k$ — מכיוון ש-$\sin(0^\circ)=0$, זווית העזר $\alpha=0^\circ$. הפתרון הכללי: $x=0^\circ+360^\circ k$ או $x=180^\circ-0^\circ+360^\circ k=180^\circ+360^\circ k$. איחוד שני הענפים (המרוחקים $180^\circ$ זה מזה) נותן $x=180^\circ k$.
$\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
$\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$.
$0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(2\pi\right)=0$.
$\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
$37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
$\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
$\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$150^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$.
$180^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'