📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(330^\circ)=\frac{\sin(330^\circ)}{\cos(330^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
2. $x=0^\circ,\ x=180^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=0^\circ,\ x=180^\circ$.
3. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
4. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
5. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
6. $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$.
7. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
8. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
9. $\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
10. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(2\pi\right)=1$.
11. $\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.
12. $\frac{119}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144-25}{169}=\frac{119}{169}$.
13. $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$.
14. $-\sqrt{3}$ — $300^\circ$ ברביע הרביעי, זווית הייחוס $60^\circ$: $\sin(300^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(300^\circ)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ (קוסינוס חיובי ברביע ד'). לכן $\tan(300^\circ)=\frac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$.
15. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.