15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $sin (\frac{π}{3})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
2.לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ . אם $a = 10, A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ , מהו $b$ ?
(א) $20$ ✓
(ב) $5$
(ג) $15$
(ד) $10$
3.מהו $cos (\frac{4 π}{3})$ ?
(א) $0$
(ב) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
4.מהו $sin (\frac{5 π}{3})$ ?
(א) $0$
(ב) $- \frac{3}{2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
5.מהו $cos (27 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $0$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
6.פתרו את המשוואה $sin x = \frac{1}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = - 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ד) $x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
7.מהו $sin (\frac{5 π}{6})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
8.מהו $tan (\frac{5 π}{4})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $0$
(ד) $3$
9.מהו $cos (33 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{3}{2}$ ✓
(ד) $\frac{1}{2}$
10.פתרו את המשוואה $sin x = - \frac{1}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = - 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ג) $x = - 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ד) $x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
11.במשולש $a = 5, b = 8$ והזווית ביניהם $C = 6 0^{\circ}$ . מהו $c$ ?
(א) $129$
(ב) $13$
(ג) $89$
(ד) $49 = 7$ ✓
12.נתון $sin α = \frac{5}{13}, cos α = \frac{12}{13}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{144}{169}$
(ב) $- \frac{119}{169}$
(ג) $\frac{119}{169}$ ✓
(ד) $\frac{120}{169}$
13.מהו $sin (36 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $0$ ✓
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
14.מהו $cos (30 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$
15.מהו $cos (\frac{5 π}{3})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{3}{2}$

מפתח תשובות

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$0$ — הערך $\cos(270^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$.
$\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
$1$ — $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$ (רביע שלישי). $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. מכיוון ש-$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, זווית העזר היא $30^\circ$; מכיוון שהערך הנתון שלילי ($\sin x=-\frac{1}{2}$), בוחרים $\alpha=-30^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
$\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
$\frac{119}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144-25}{169}=\frac{119}{169}$.
$0$ — הערך $\sin(360^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(300^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'