📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
2. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
4. $\sin\alpha$ — $90^\circ-\alpha$ היא הזווית המשלימה ל-$\alpha$ (שתי הזוויות מסתכמות ל-$90^\circ$). לפי זהות הזוויות המשלימות, הקוסינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית המשלימה לה: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
5. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
6. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
7. $-\sqrt{3}$ — $300^\circ$ ברביע הרביעי, זווית הייחוס $60^\circ$: $\sin(300^\circ)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\cos(300^\circ)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ (קוסינוס חיובי ברביע ד'). לכן $\tan(300^\circ)=\frac{-\sqrt3/2}{1/2}=-\sqrt3$.
8. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
9. $15$ — $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
10. $360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
11. $\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.
12. $-\sin\alpha$ — גרף הסינוס אנטי-סימטרי סביב הראשית (סימטרי סביב נקודה, לא סביב ציר ה-$y$) — כלומר $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית, ולפי הגדרת פונקציה אי-זוגית מתקיים $f(-\alpha)=-f(\alpha)$ לכל $\alpha$. לכן $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$.
13. $270^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{2}=270^\circ$.
14. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
15. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.