📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=180^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית העזר המקיימת $\cos\alpha=a$ בתחום $0^\circ\le\alpha\le180^\circ$. כאן $a=-1$, ולפי $\cos(180^\circ)=-1$ מתקבל $\alpha=180^\circ$, כלומר $x=\pm180^\circ+360^\circ k$. מכיוון ש-$-180^\circ+360^\circ k=180^\circ+360^\circ(k-1)$, שני הענפים נותנים בדיוק את אותה קבוצת פתרונות, ולכן כותבים זאת בפשטות כ-$x=180^\circ+360^\circ k$.
2. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
3. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.
6. $\sin\alpha$ — $90^\circ-\alpha$ היא הזווית המשלימה ל-$\alpha$ (שתי הזוויות מסתכמות ל-$90^\circ$). לפי זהות הזוויות המשלימות, הקוסינוס של זווית שווה לסינוס של הזווית המשלימה לה: $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$.
7. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — זווית העזר: $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. מכיוון ש-$\cos x$ שלילי, $x$ ברביע השני או השלישי: $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ או $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$.
9. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
10. $\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(300^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
11. $\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
12. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
13. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1$.
14. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
15. $x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.