תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $\frac{\pi}{2}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $90^\circ=90\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{2}$.
2. $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
3. $\frac{\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $60^\circ=60\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$.
4. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
5. $\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
6. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(60^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\sqrt{3}$.
7. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)}=1$.
8. $1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
9. $-1$ — הערך $\sin(270^\circ)=-1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
10. $180^\circ$ — התקופה של טנגנס היא $180^\circ$.
11. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
12. $\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
13. $270^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{2}=270^\circ$.
14. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
15. $120^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.
16. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
17. $37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
18. $x=\pm120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm120^\circ+360^\circ k$.
19. $1$ — מתקיים $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=1$.
20. $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+360^\circ k$ או $x=120^\circ+360^\circ k$.
21. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
22. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1$.
23. $\sin(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לסינוס בכיוון ההפוך. לכן התשובה היא $\sin(2\alpha)$.
24. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
25. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
26. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
27. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.
28. $0$ — מתקיים $\tan\left(2\pi\right)=\frac{\sin\left(2\pi\right)}{\cos\left(2\pi\right)}=0$.
29. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
30. $0$ — הערך $\sin(0^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
31. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
32. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
33. $x=60^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+180^\circ k$.
34. $\frac{5\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $150^\circ=150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$.
35. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.