📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\pi\right)=-1$.
2. $-\sqrt{3}$ — $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$ נמצא ברביע הרביעי, וזווית הייחוס שלו היא $360^\circ-300^\circ=60^\circ$. ברביע הרביעי הסינוס שלילי והקוסינוס חיובי: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sin(5\pi/3)}{\cos(5\pi/3)}=\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}=-\sqrt{3}$.
3. $\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
4. $15$ — $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
5. $\frac{7\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $210^\circ=210\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$.
6. $0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
7. $1$ — $225^\circ=180^\circ+45^\circ$ נמצא ברביע השלישי, עם זווית ייחוס $45^\circ$. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים: $\sin(225^\circ)=-\sin(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(225^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
8. $210^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{7\pi}{6}=210^\circ$.
9. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(60^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\sqrt{3}$.
10. $\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.
11. $x=30^\circ,\ x=150^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=30^\circ,\ x=150^\circ$.
12. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
13. $-1$ — הזווית $270^\circ$ נמצאת בדיוק על הציר השלילי של $y$ במעגל היחידה, כלומר בנקודה $(0,-1)$. הסינוס שווה לשיעור ה-$y$ של הנקודה, ולכן $\sin(270^\circ)=-1$.
14. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
15. $x=60^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+180^\circ k$.