15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.במשולש $a = 5, b = 8$ והזווית ביניהם $C = 6 0^{\circ}$ . מהו $c$ ?
(א) $129$
(ב) $13$
(ג) $89$
(ד) $49 = 7$ ✓
2.השלימו את הזהות: $1 + tan^{2} α = ?$
(א) $\frac{1}{c o s ^{2} α}$ ✓
(ב) $1$
(ג) $cos^{2} α$
(ד) $\frac{1}{s i n ^{2} α}$
3.מהו $tan (\frac{5 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{3}{3}$ ✓
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
4.מהו $tan (\frac{3 π}{4})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{3}$
(ג) $- 1$ ✓
(ד) $1$
5.מצאו את כל פתרונות המשוואה $cos x = 0$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 18 0^{\circ}, x = 27 0^{\circ}$
(ב) $x = 9 0^{\circ}, x = 27 0^{\circ}$ ✓
(ג) $x = 9 0^{\circ}, x = 18 0^{\circ}$
(ד) $x = 0^{\circ}, x = 18 0^{\circ}$
6.השלימו את הזהות: $sin (9 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $cos α$ ✓
(ב) $tan α$
(ג) $sin α$
(ד) $- cos α$
7.כמה רדיאנים שווה הזווית $12 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{3}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{2 π}{3}$ ✓
8.השלימו את הזהות: $cos (α + β) = ?$
(א) $cos α cos β + sin α sin β$
(ב) $sin α cos β + cos α sin β$
(ג) $sin α cos β - cos α sin β$
(ד) $cos α cos β - sin α sin β$ ✓
9.מהו $cos (31 5^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$ ✓
(ד) $\frac{3}{2}$
10.מהו $cos (\frac{4 π}{3})$ ?
(א) $0$
(ב) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
11.מהו $sin (\frac{π}{3})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
12.כמה רדיאנים שווה הזווית $1 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{4}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{12}$ ✓
13.השלימו את הזהות: $2 sin α cos α = ?$
(א) $2 sin α$
(ב) $cos (2 α)$
(ג) $tan (2 α)$
(ד) $sin (2 α)$ ✓
14.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{2}$ רדיאנים?
(א) $9 0^{\circ}$ ✓
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $4 5^{\circ}$
(ד) $3 0^{\circ}$
15.מהו הערך המקסימלי של $y = 2 sin x + 1$ ?
(א) $3$ ✓
(ב) $2$
(ג) $1$
(ד) $- 1$

מפתח תשובות

$\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
$\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מזהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, מחלקים את שני האגפים ב-$\cos^2\alpha$ (כאשר $\cos\alpha\neq0$): $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}$. מכיוון ש-$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha$ ו-$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1$, מתקבל $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$-1$ — $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ נמצא ברביע השני, וזווית הייחוס שלו היא $180^\circ-135^\circ=45^\circ$. ברביע השני הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin(3\pi/4)}{\cos(3\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1$.
$x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — $\cos x=0$ מתאפס בזוויות שבהן הנקודה על מעגל היחידה נמצאת על ציר ה-$y$, כלומר $x=90^\circ$ ו-$x=270^\circ$. באופן כללי הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb{Z}$: עבור $k=0$ מתקבל $x=90^\circ$, ועבור $k=1$ מתקבל $x=270^\circ$ — שני הערכים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$.
$\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{\pi}{12}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$.
$\sin(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לסינוס בכיוון ההפוך. לכן התשובה היא $\sin(2\alpha)$.
$90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
$3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'