📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $0$ — הערך $\sin(360^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
2. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
3. $210^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{7\pi}{6}=210^\circ$.
4. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
5. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(120^\circ)=\frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)}=-\sqrt{3}$.
7. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של קוסינוס היא $360^\circ$.
8. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
9. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
10. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
11. $-1$ — הזווית $\frac{7\pi}{4}$ נמצאת ברביע הרביעי, עם זווית ייחוס $\frac{\pi}{4}$. לכן $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו-$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ומכאן $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$.
12. $x=45^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=45^\circ,\ x=225^\circ$.
13. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
15. $x=60^\circ,\ x=300^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=300^\circ$.