📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
2. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1$.
3. $x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — $\cos x=0$ מתאפס בזוויות שבהן הנקודה על מעגל היחידה נמצאת על ציר ה-$y$, כלומר $x=90^\circ$ ו-$x=270^\circ$. באופן כללי הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb{Z}$: עבור $k=0$ מתקבל $x=90^\circ$, ועבור $k=1$ מתקבל $x=270^\circ$ — שני הערכים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$.
4. $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
5. $x=\pm60^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm60^\circ+360^\circ k$.
6. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
7. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
8. $-\sin\alpha$ — גרף הסינוס אנטי-סימטרי סביב הראשית (סימטרי סביב נקודה, לא סביב ציר ה-$y$) — כלומר $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית, ולפי הגדרת פונקציה אי-זוגית מתקיים $f(-\alpha)=-f(\alpha)$ לכל $\alpha$. לכן $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$.
9. $-\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\cos\alpha=-\frac{4}{5}$.
10. $180^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
11. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
12. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
13. $210^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{7\pi}{6}=210^\circ$.
14. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
15. $0$ — הערך $\cos(270^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.