תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $1$ — מתקיים $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=1$.
2. $\frac{24}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{25}$.
3. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\sin(210^\circ)=-\frac{1}{2}$ ו-$\cos(210^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (רביע שלישי, שני הסימנים שליליים), לכן $\tan(210^\circ)=\frac{-1/2}{-\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
4. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
5. $x=30^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+180^\circ k$.
6. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
7. $\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
8. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
9. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $1-2\sin^2\alpha=1-2\cdot\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$.
10. $x=\pm60^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm60^\circ+360^\circ k$.
11. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
12. $0$ — הערך $\sin(0^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
13. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
14. $\frac{12}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{12}{13}$.
15. $-\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
16. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
17. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
18. $90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
19. $x=\pm120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm120^\circ+360^\circ k$.
20. $x=45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+180^\circ k$.
21. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(2\pi\right)=0$.
22. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$.
23. $\sqrt{49}=7$ — $c^2=25+64-2\cdot5\cdot8\cdot\frac12=89-40=49,\ c=7$.
24. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=135^\circ,\ x=225^\circ$.
25. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
26. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(315^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
27. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
28. $1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
29. $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ — אחת מצורות נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
30. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
31. $\sin^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\sin^2\alpha$.
32. $\frac{\pi}{12}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $15^\circ=15\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{12}$.
33. $x=\pm30^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm30^\circ+360^\circ k$.
34. $x=60^\circ,\ x=120^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=60^\circ,\ x=120^\circ$.
35. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.