📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $210^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{7\pi}{6}=210^\circ$.
2. $\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
3. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
4. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(2\pi\right)=0$.
5. $2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
6. $-1$ — $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ נמצא ברביע השני, וזווית הייחוס שלו היא $180^\circ-135^\circ=45^\circ$. ברביע השני הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin(3\pi/4)}{\cos(3\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1$.
7. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $135^\circ=135\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$.
8. $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
9. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.
10. $x=180^\circ k$ — מכיוון ש-$\sin(0^\circ)=0$, זווית העזר $\alpha=0^\circ$. הפתרון הכללי: $x=0^\circ+360^\circ k$ או $x=180^\circ-0^\circ+360^\circ k=180^\circ+360^\circ k$. איחוד שני הענפים (המרוחקים $180^\circ$ זה מזה) נותן $x=180^\circ k$.
11. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
12. $180^\circ$ — התקופה של טנגנס היא $180^\circ$.
13. $1$ — מתקיים $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
14. $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
15. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.