15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו $cos (\frac{π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$ ✓
(ב) $\frac{3}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $0$
2.מצאו את כל פתרונות המשוואה $sin x = - \frac{1}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 21 0^{\circ}, x = 33 0^{\circ}$ ✓
(ב) $x = 21 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
(ג) $x = 24 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
(ד) $x = 3 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
3.מהו $tan (\frac{π}{3})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$
(ב) $1$
(ג) $0$
(ד) $3$ ✓
4.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{6}$ רדיאנים?
(א) $9 0^{\circ}$
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $3 0^{\circ}$ ✓
(ד) $4 5^{\circ}$
5.נתון $cos α = \frac{4}{5}$ ו- $α$ ברביע רביעי. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{4}{5}$
(ב) $- \frac{3}{5}$ ✓
(ג) $\frac{3}{5}$
(ד) $- \frac{4}{5}$
6.מהו $sin (\frac{11 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
7.מהו $tan (18 0^{\circ})$ ?
(א) $0$ ✓
(ב) $3$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $1$
8.השלימו את הזהות: $sin (α - β) = ?$
(א) $sin α cos β + cos α sin β$
(ב) $cos α cos β + sin α sin β$
(ג) $sin α cos β - cos α sin β$ ✓
(ד) $cos α cos β - sin α sin β$
9.כמה רדיאנים שווה הזווית $4 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{4}$ ✓
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{2}$
10.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{12}$ רדיאנים?
(א) $4 5^{\circ}$
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $1 5^{\circ}$ ✓
(ד) $3 0^{\circ}$
11.מהו $cos (24 0^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
12.כמה רדיאנים שווה הזווית $13 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $\frac{π}{4}$
(ג) $\frac{3 π}{4}$ ✓
(ד) $\frac{π}{6}$
13.במשולש $a = 8, A = 3 0^{\circ}, B = 3 0^{\circ}$ . מהו $b$ ?
(א) $8$ ✓
(ב) $83$
(ג) $16$
(ד) $4$
14.השלימו את הזהות: $1 - sin^{2} α = ?$
(א) $cos^{2} α$ ✓
(ב) $tan^{2} α$
(ג) $sin^{2} α$
(ד) $1$
15.מהי התקופה של הפונקציה $y = cos x$ (במעלות)?
(א) $18 0^{\circ}$
(ב) $36 0^{\circ}$ ✓
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $27 0^{\circ}$

מפתח תשובות

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
$\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
$30^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$.
$-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
$0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
$\frac{\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$.
$15^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{12}=15^\circ$.
$-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(240^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{3\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $135^\circ=135\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$.
$8$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot\frac12}{\frac12}=8$.
$\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
$360^\circ$ — התקופה הבסיסית של קוסינוס היא $360^\circ$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'