📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
2. $x=60^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=60^\circ+180^\circ k$.
3. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.
4. $-1$ — $315^\circ$ נמצאת ברביע הרביעי ($270^\circ<315^\circ<360^\circ$), שם $\cos$ חיובי ו-$\sin$ שלילי, ולכן $\tan$ שלילי. זווית העזר: $360^\circ-315^\circ=45^\circ$. לכן $\tan(315^\circ)=-\tan(45^\circ)=-1$.
5. $x=90^\circ,\ x=270^\circ$ — $\cos x=0$ מתאפס בזוויות שבהן הנקודה על מעגל היחידה נמצאת על ציר ה-$y$, כלומר $x=90^\circ$ ו-$x=270^\circ$. באופן כללי הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k,\ k\in\mathbb{Z}$: עבור $k=0$ מתקבל $x=90^\circ$, ועבור $k=1$ מתקבל $x=270^\circ$ — שני הערכים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$.
6. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
7. $180^\circ$ — התקופה של טנגנס היא $180^\circ$.
8. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
9. $\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
10. $x=180^\circ k$ — מכיוון ש-$\sin(0^\circ)=0$, זווית העזר $\alpha=0^\circ$. הפתרון הכללי: $x=0^\circ+360^\circ k$ או $x=180^\circ-0^\circ+360^\circ k=180^\circ+360^\circ k$. איחוד שני הענפים (המרוחקים $180^\circ$ זה מזה) נותן $x=180^\circ k$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
12. $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
13. $-1$ — הזווית $\frac{7\pi}{4}$ נמצאת ברביע הרביעי, עם זווית ייחוס $\frac{\pi}{4}$. לכן $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו-$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ומכאן $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$.
14. $\frac{12}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{12}{13}$.
15. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.