15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.כמה מעלות שווה הזווית $2 π$ רדיאנים?
(א) $3 0^{\circ}$
(ב) $4 5^{\circ}$
(ג) $36 0^{\circ}$ ✓
(ד) $6 0^{\circ}$
2.השלימו את הזהות: $sin^{2} α + cos^{2} α = ?$
(א) $1$ ✓
(ב) $sin 2 α$
(ג) $2$
(ד) $0$
3.מצאו את כל פתרונות המשוואה $tan x = 1$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 13 5^{\circ}, x = 31 5^{\circ}$
(ב) $x = 4 5^{\circ}, x = 13 5^{\circ}$
(ג) $x = 4 5^{\circ}, x = 31 5^{\circ}$
(ד) $x = 4 5^{\circ}, x = 22 5^{\circ}$ ✓
4.נתון $sin α = \frac{3}{5}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $cos α$ ?
(א) $- \frac{4}{5}$
(ב) $\frac{3}{5}$
(ג) $\frac{4}{5}$ ✓
(ד) $\frac{5}{4}$
5.מצאו את כל פתרונות המשוואה $cos x = - \frac{2}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 4 5^{\circ}, x = 31 5^{\circ}$
(ב) $x = 4 5^{\circ}, x = 22 5^{\circ}$
(ג) $x = 13 5^{\circ}, x = 31 5^{\circ}$
(ד) $x = 13 5^{\circ}, x = 22 5^{\circ}$ ✓
6.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{3 π}{4}$ רדיאנים?
(א) $4 5^{\circ}$
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $3 0^{\circ}$
(ד) $13 5^{\circ}$ ✓
7.מהו $sin (\frac{π}{3})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
8.מהו $sin (\frac{5 π}{3})$ ?
(א) $0$
(ב) $- \frac{3}{2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
9.מהו $cos (33 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{3}{2}$ ✓
(ד) $\frac{1}{2}$
10.השלימו את הזהות: $sin (18 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $sin α$ ✓
(ב) $- cos α$
(ג) $- sin α$
(ד) $cos α$
11.כמה רדיאנים שווה הזווית $18 0^{\circ}$ ?
(א) $π$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{3}$
12.מהו $sin (24 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$ ✓
13.מהו $sin (\frac{11 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
14.השלימו את הזהות: $sin (2 α) = ?$
(א) $sin α cos α$
(ב) $sin^{2} α - cos^{2} α$
(ג) $2 sin α cos α$ ✓
(ד) $1 - 2 sin^{2} α$
15.מהו $sin (\frac{π}{4})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{2}{2}$ ✓
(ד) $\frac{1}{2}$

מפתח תשובות

$360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
$1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
$x=45^\circ,\ x=225^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=45^\circ,\ x=225^\circ$.
$\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{4}{5}$.
$x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — זווית העזר: $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. מכיוון ש-$\cos x$ שלילי, $x$ ברביע השני או השלישי: $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ או $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$.
$135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\sin\alpha$ — לפי נוסחת ההפרש לסינוס: $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$. מציבים $A=180^\circ,\ B=\alpha$, ומשתמשים בכך ש-$\sin180^\circ=0$ ו-$\cos180^\circ=-1$: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin180^\circ\cos\alpha-\cos180^\circ\sin\alpha=0\cdot\cos\alpha-(-1)\cdot\sin\alpha=\sin\alpha$.
$\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
$2\sin\alpha\cos\alpha$ — נוסחת הזווית הכפולה לסינוס. לכן התשובה היא $2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'