15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.השלימו את הזהות: $sin (2 α) = ?$
(א) $sin α cos α$
(ב) $sin^{2} α - cos^{2} α$
(ג) $2 sin α cos α$ ✓
(ד) $1 - 2 sin^{2} α$
2.כמה רדיאנים שווה הזווית $22 5^{\circ}$ ?
(א) $\frac{5 π}{4}$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{3}$
(ד) $\frac{π}{4}$
3.השלימו את הזהות: $\frac{s i n α}{c o s α} = ?$
(א) $cot α$
(ב) $sin α cos α$
(ג) $1$
(ד) $tan α$ ✓
4.מהו $sin (\frac{π}{2})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
5.פתרו את המשוואה $cos x = \frac{2}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = \pm 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = \pm 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ג) $x = \pm 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ד) $x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
6.מצאו את כל פתרונות המשוואה $sin x = 0$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 0^{\circ}, x = 18 0^{\circ}$ ✓
(ב) $x = 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ}$
(ג) $x = 18 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ}$
(ד) $x = 9 0^{\circ}, x = 27 0^{\circ}$
7.מהו $tan (36 0^{\circ})$ ?
(א) $1$
(ב) $3$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$ ✓
8.מהו $sin (12 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
9.מהו $cos (6 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
10.מהו $tan (4 5^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$
(ב) $3$
(ג) $1$ ✓
(ד) $0$
11.מהו $tan (\frac{11 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{3}{3}$ ✓
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
12.נתון $sin α = \frac{5}{13}, cos α = \frac{12}{13}$ . מהו $sin (2 α)$ ?
(א) $\frac{120}{169}$ ✓
(ב) $\frac{60}{169}$
(ג) $- \frac{120}{169}$
(ד) $\frac{119}{169}$
13.מהו $tan (13 5^{\circ})$ ?
(א) $- 1$ ✓
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
14.במשולש $a = 8, A = 3 0^{\circ}, B = 3 0^{\circ}$ . מהו $b$ ?
(א) $8$ ✓
(ב) $83$
(ג) $16$
(ד) $4$
15.מהו $sin (24 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$ ✓

מפתח תשובות

$2\sin\alpha\cos\alpha$ — נוסחת הזווית הכפולה לסינוס. לכן התשובה היא $2\sin\alpha\cos\alpha$.
$\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
$\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
$1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
$x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
$x=0^\circ,\ x=180^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=0^\circ,\ x=180^\circ$.
$0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$1$ — מתקיים $\tan(45^\circ)=\frac{\sin(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=1$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\frac{120}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
$-1$ — מתקיים $\tan(135^\circ)=\frac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)}=-1$.
$8$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot\frac12}{\frac12}=8$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'