📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$.
2. $\frac{7}{25}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$.
3. $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מזהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, מחלקים את שני האגפים ב-$\cos^2\alpha$ (כאשר $\cos\alpha\neq0$): $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}$. מכיוון ש-$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha$ ו-$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1$, מתקבל $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
4. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
5. $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$ — אחת מצורות נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.
6. $x=30^\circ,\ x=150^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=30^\circ,\ x=150^\circ$.
7. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.
8. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
9. $150^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$.
10. $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+360^\circ k$ או $x=150^\circ+360^\circ k$.
11. $\frac{120}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $2\cdot\frac{5}{13}\cdot\frac{12}{13}=\frac{120}{169}$.
12. $60^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{3}=60^\circ$.
13. $360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
14. $8$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot\frac12}{\frac12}=8$.
15. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(330^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.