📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-1$ — הזווית $\frac{7\pi}{4}$ נמצאת ברביע הרביעי, עם זווית ייחוס $\frac{\pi}{4}$. לכן $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו-$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ומכאן $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$.
2. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.
3. $1$ — $225^\circ=180^\circ+45^\circ$ נמצא ברביע השלישי, עם זווית ייחוס $45^\circ$. ברביע השלישי גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים: $\sin(225^\circ)=-\sin(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(225^\circ)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=\frac{-\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=1$.
4. $x=135^\circ,\ x=225^\circ$ — זווית העזר: $\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$. מכיוון ש-$\cos x$ שלילי, $x$ ברביע השני או השלישי: $x=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ או $x=180^\circ+45^\circ=225^\circ$.
5. $120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
6. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
7. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
8. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
9. $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$.
10. $x=30^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=30^\circ+180^\circ k$.
11. $-\cos\alpha$ — לפי זהות קוסינוס ההפרש: $\cos(180^\circ-\alpha)=\cos180^\circ\cos\alpha+\sin180^\circ\sin\alpha=-\cos\alpha$.
12. $30^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$.
13. $37$ — $c^2=49+9-2\cdot7\cdot3\cdot\frac12=58-21=37$.
14. $2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
15. $x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.