15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.השלימו את הזהות: $1 - sin^{2} α = ?$
(א) $cos^{2} α$ ✓
(ב) $tan^{2} α$
(ג) $sin^{2} α$
(ד) $1$
2.מהו $sin (π)$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $0$ ✓
(ד) $\frac{3}{2}$
3.במשולש $a = 8, A = 3 0^{\circ}, B = 3 0^{\circ}$ . מהו $b$ ?
(א) $8$ ✓
(ב) $83$
(ג) $16$
(ד) $4$
4.השלימו את הזהות: $sin (18 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $sin α$ ✓
(ב) $- cos α$
(ג) $- sin α$
(ד) $cos α$
5.פתרו את המשוואה $tan x = 1$ (פתרון כללי).
(א) $x = \pm 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$ ✓
(ד) $x = 13 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
6.מהו $sin (24 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$ ✓
7.במשולש שטחו מחושב לפי $\frac{1}{2} ab sin C$ . אם $a = 6, b = 10, C = 3 0^{\circ}$ , מהו השטח?
(א) $15$ ✓
(ב) $153$
(ג) $60$
(ד) $30$
8.מצאו את כל פתרונות המשוואה $sin x = - \frac{1}{2}$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 21 0^{\circ}, x = 33 0^{\circ}$ ✓
(ב) $x = 21 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
(ג) $x = 24 0^{\circ}, x = 30 0^{\circ}$
(ד) $x = 3 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}$
9.מהו $sin (13 5^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
10.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{2 π}{3}$ רדיאנים?
(א) $6 0^{\circ}$
(ב) $12 0^{\circ}$ ✓
(ג) $3 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
11.מהו $tan (\frac{7 π}{4})$ ?
(א) $0$
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $- 1$ ✓
12.מהי התקופה של $y = sin (2 x)$ (במעלות)?
(א) $36 0^{\circ}$
(ב) $72 0^{\circ}$
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $18 0^{\circ}$ ✓
13.נתון $cos α = \frac{3}{5}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{7}{25}$
(ב) $\frac{18}{25}$
(ג) $- \frac{7}{25}$ ✓
(ד) $\frac{9}{25}$
14.מהו $sin (9 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{1}{2}$
15.מהו שטח משולש עם $a = 4, b = 4, C = 9 0^{\circ}$ ?
(א) $82$
(ב) $16$
(ג) $8$ ✓
(ד) $4$

מפתח תשובות

$\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
$0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\pi\right)=0$.
$8$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{8\cdot\frac12}{\frac12}=8$.
$\sin\alpha$ — לפי נוסחת ההפרש לסינוס: $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$. מציבים $A=180^\circ,\ B=\alpha$, ומשתמשים בכך ש-$\sin180^\circ=0$ ו-$\cos180^\circ=-1$: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin180^\circ\cos\alpha-\cos180^\circ\sin\alpha=0\cdot\cos\alpha-(-1)\cdot\sin\alpha=\sin\alpha$.
$x=45^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+180^\circ k$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$15$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
$x=210^\circ,\ x=330^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=210^\circ,\ x=330^\circ$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$120^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{2\pi}{3}=120^\circ$.
$-1$ — הזווית $\frac{7\pi}{4}$ נמצאת ברביע הרביעי, עם זווית ייחוס $\frac{\pi}{4}$. לכן $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ו-$\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, ומכאן $\tan\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)}=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$.
$180^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
$-\frac{7}{25}$ — מציבים $\cos\alpha=\frac{3}{5}$: $\cos^2\alpha=\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{9}{25}$. לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos(2\alpha)=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{9}{25}-1=\frac{18}{25}-1=-\frac{7}{25}$.
$1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$8$ — מציבים ביחס או בזהות הטריגונומטרית המתאימים ומחשבים: $S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin90^\circ=8\cdot1=8$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'