📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\sin\alpha$ — גרף הסינוס אנטי-סימטרי סביב הראשית (סימטרי סביב נקודה, לא סביב ציר ה-$y$) — כלומר $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית, ולפי הגדרת פונקציה אי-זוגית מתקיים $f(-\alpha)=-f(\alpha)$ לכל $\alpha$. לכן $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$.
2. $\frac{119}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144-25}{169}=\frac{119}{169}$.
3. $x=30^\circ,\ x=150^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=30^\circ,\ x=150^\circ$.
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
6. $-\frac{1}{2}$ — $210^\circ$ נמצאת ברביע השלישי ($180^\circ<210^\circ<270^\circ$), שם $\sin$ שלילי. זווית העזר: $210^\circ-180^\circ=30^\circ$. לכן $\sin(210^\circ)=-\sin(30^\circ)=-\frac{1}{2}$.
7. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
8. $180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
9. $15$ — $S=\frac12\cdot6\cdot10\cdot\sin30^\circ=30\cdot\frac12=15$.
10. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
11. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
12. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
13. $-1$ — הערך $\cos(180^\circ)=-1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{3}{5}$.
15. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.