15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.השלימו את הזהות: $sin (18 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $sin α$ ✓
(ב) $- cos α$
(ג) $- sin α$
(ד) $cos α$
2.השלימו את הזהות: $cos (α - β) = ?$
(א) $cos α cos β + sin α sin β$ ✓
(ב) $sin α cos β - cos α sin β$
(ג) $cos α cos β - sin α sin β$
(ד) $sin α cos β + cos α sin β$
3.נתון $sin α = \frac{8}{17}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $cos α$ ?
(א) $\frac{17}{15}$
(ב) $\frac{8}{17}$
(ג) $\frac{15}{17}$ ✓
(ד) $- \frac{15}{17}$
4.מהו $tan (15 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{3}$
(ג) $1$
(ד) $- \frac{3}{3}$ ✓
5.כמה רדיאנים שווה הזווית $12 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{3}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{2 π}{3}$ ✓
6.נתון $sin α = \frac{5}{13}, cos α = \frac{12}{13}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{144}{169}$
(ב) $- \frac{119}{169}$
(ג) $\frac{119}{169}$ ✓
(ד) $\frac{120}{169}$
7.מהו $tan (13 5^{\circ})$ ?
(א) $- 1$ ✓
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
8.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{5 π}{6}$ רדיאנים?
(א) $15 0^{\circ}$ ✓
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $3 0^{\circ}$
(ד) $4 5^{\circ}$
9.כמה רדיאנים שווה הזווית $36 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{3}$
(ב) $2 π$ ✓
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{6}$
10.מהו $sin (\frac{2 π}{3})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$ ✓
(ד) $0$
11.מהו $sin (\frac{3 π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$
12.מהו $sin (\frac{4 π}{3})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $0$
(ד) $- \frac{3}{2}$ ✓
13.השלימו את הזהות: $sin^{2} α + cos^{2} α = ?$
(א) $1$ ✓
(ב) $sin 2 α$
(ג) $2$
(ד) $0$
14.מהו $tan (3 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{3}$ ✓
(ב) $3$
(ג) $1$
(ד) $0$
15.השלימו את הזהות: $cos (18 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $- cos α$ ✓
(ב) $cos α$
(ג) $- sin α$
(ד) $sin α$

מפתח תשובות

$\sin\alpha$ — לפי נוסחת ההפרש לסינוס: $\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$. מציבים $A=180^\circ,\ B=\alpha$, ומשתמשים בכך ש-$\sin180^\circ=0$ ו-$\cos180^\circ=-1$: $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin180^\circ\cos\alpha-\cos180^\circ\sin\alpha=0\cdot\cos\alpha-(-1)\cdot\sin\alpha=\sin\alpha$.
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — אפשר לגזור את נוסחת ההפרש לקוסינוס מנוסחת הסכום: $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$. מכיוון ש-$\cos$ זוגית ($\cos(-\beta)=\cos\beta$) ו-$\sin$ אי-זוגית ($\sin(-\beta)=-\sin\beta$), מקבלים $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cdot(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
$\frac{15}{17}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{15}{17}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(150^\circ)=\frac{\sin(150^\circ)}{\cos(150^\circ)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
$\frac{119}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144-25}{169}=\frac{119}{169}$.
$-1$ — מתקיים $\tan(135^\circ)=\frac{\sin(135^\circ)}{\cos(135^\circ)}=-1$.
$150^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$.
$2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
$\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan(30^\circ)=\frac{\sin(30^\circ)}{\cos(30^\circ)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'