15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.נתון $cos α = \frac{4}{5}$ ו- $α$ ברביע רביעי. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{4}{5}$
(ב) $- \frac{3}{5}$ ✓
(ג) $\frac{3}{5}$
(ד) $- \frac{4}{5}$
2.מהו $cos (\frac{π}{6})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$
3.מהו $sin (21 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $- \frac{1}{2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
4.מהו $cos (\frac{11 π}{6})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{1}{2}$
5.מהו $sin (\frac{3 π}{4})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$
6.מהו $cos (9 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$ ✓
7.כמה רדיאנים שווה הזווית $18 0^{\circ}$ ?
(א) $π$ ✓
(ב) $\frac{π}{6}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{π}{3}$
8.פתרו את המשוואה $cos x = \frac{2}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = \pm 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = \pm 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ג) $x = \pm 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ד) $x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
9.מהו $cos (36 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
10.לפי חוק הסינוסים $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B}$ . אם $a = 10, A = 3 0^{\circ}, B = 9 0^{\circ}$ , מהו $b$ ?
(א) $20$ ✓
(ב) $5$
(ג) $15$
(ד) $10$
11.מהו $cos (\frac{7 π}{4})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
12.מהו $sin (9 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{2}{2}$
(ב) $1$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{1}{2}$
13.מהו $tan (24 0^{\circ})$ ?
(א) $3$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $1$
14.השלימו את הזהות: $tan (- α) = ?$
(א) $- tan α$ ✓
(ב) $1$
(ג) $cot α$
(ד) $tan α$
15.מהו $cos (\frac{3 π}{2})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $0$ ✓

מפתח תשובות

$-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$-\frac{1}{2}$ — $210^\circ$ נמצאת ברביע השלישי ($180^\circ<210^\circ<270^\circ$), שם $\sin$ שלילי. זווית העזר: $210^\circ-180^\circ=30^\circ$. לכן $\sin(210^\circ)=-\sin(30^\circ)=-\frac{1}{2}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$0$ — הערך $\cos(90^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi$.
$x=\pm45^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm45^\circ+360^\circ k$.
$1$ — הערך $\cos(360^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$20$ — $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{10\cdot1}{\frac12}=20$.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.
$-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
$0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'