📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(60^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\sqrt{3}$.
2. $1$ — הערך $\sin(90^\circ)=1$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
3. $15^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{12}=15^\circ$.
4. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. $\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
6. $30^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$.
7. $0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
8. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
9. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
10. $30$ — $S=\frac12\cdot5\cdot12\cdot\sin90^\circ=30$.
11. $180^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{2}=180^\circ$.
12. $-1$ — $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$ נמצא ברביע השני, וזווית הייחוס שלו היא $180^\circ-135^\circ=45^\circ$. ברביע השני הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי: $\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-\cos(45^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin(3\pi/4)}{\cos(3\pi/4)}=\frac{\sqrt{2}/2}{-\sqrt{2}/2}=-1$.
13. $3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
14. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
15. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של קוסינוס היא $360^\circ$.