📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(120^\circ)=\frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)}=-\sqrt{3}$.
2. $\frac{7\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $210^\circ=210\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}$.
3. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
4. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
5. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. $\frac{1}{\cos^2\alpha}$ — מזהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, מחלקים את שני האגפים ב-$\cos^2\alpha$ (כאשר $\cos\alpha\neq0$): $\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}$. מכיוון ש-$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\tan^2\alpha$ ו-$\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=1$, מתקבל $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$.
7. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
8. $0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(2\pi\right)=0$.
9. $2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
10. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
11. $45^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{4}=45^\circ$.
12. $x=30^\circ,\ x=150^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=30^\circ,\ x=150^\circ$.
13. $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. מכיוון ש-$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, זווית העזר היא $30^\circ$; מכיוון שהערך הנתון שלילי ($\sin x=-\frac{1}{2}$), בוחרים $\alpha=-30^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
14. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\sin(330^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
15. $-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.