תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות ופתרונות

1. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
2. $0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
3. $0$ — מתקיים $\tan(360^\circ)=\frac{\sin(360^\circ)}{\cos(360^\circ)}=0$.
4. $-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.
5. $360^\circ$ — התקופה הבסיסית של סינוס היא $360^\circ$.
6. $\dfrac{1}{2}$ — ערך טריגונומטרי ידוע: $\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$.
7. $300^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$.
8. $\frac{12}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\cos\alpha=\frac{12}{13}$.
9. $\sin\alpha$ — זווית משלימה ל-$180^\circ$ — הסינוס נשמר. לכן התשובה היא $\sin\alpha$.
10. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
11. $1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
12. $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ — נוסחת הסכום לסינוס. לכן התשובה היא $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$.
13. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
14. $\frac{3\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $135^\circ=135\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}$.
15. $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — נוסחת ההפרש לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
16. $108$ — $a^2=36+36-2\cdot6\cdot6\cdot(-\frac12)=72+36=108$.
17. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(300^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
18. $180^\circ$ — התקופה של טנגנס היא $180^\circ$.
19. $\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{4\pi}{3}\right)=\frac{\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)}{\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$.
20. $3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
21. $1$ — מתקיים $\tan(225^\circ)=\frac{\sin(225^\circ)}{\cos(225^\circ)}=1$.
22. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
23. $0$ — מתקיים $\tan(0^\circ)=\frac{\sin(0^\circ)}{\cos(0^\circ)}=0$.
24. $1$ — מתקיים $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)}=1$.
25. $\frac{\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $45^\circ=45\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{4}$.
26. $-4$ — המינימום מתקבל כש-$\cos x=-1$: $3\cdot(-1)-1=-4$.
27. $270^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{2}=270^\circ$.
28. $\cos(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos(2\alpha)$.
29. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
30. $-1$ — מתקיים $\tan(315^\circ)=\frac{\sin(315^\circ)}{\cos(315^\circ)}=-1$.
31. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
32. $\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.
33. $2\pi$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $360^\circ=360\cdot\frac{\pi}{180}=2\pi$.
34. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
35. $\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.