📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $45^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{4}=45^\circ$.
2. $-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{1}{2}$.
3. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — $\frac{\pi}{6}=30^\circ$, ברביע הראשון. $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}$, $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$, ולכן $\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin(\pi/6)}{\cos(\pi/6)}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ (לאחר רציונליזציה של המכנה).
4. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(315^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
5. $1$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(2\pi\right)=1$.
6. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
7. $x=180^\circ k$ — מכיוון ש-$\sin(0^\circ)=0$, זווית העזר $\alpha=0^\circ$. הפתרון הכללי: $x=0^\circ+360^\circ k$ או $x=180^\circ-0^\circ+360^\circ k=180^\circ+360^\circ k$. איחוד שני הענפים (המרוחקים $180^\circ$ זה מזה) נותן $x=180^\circ k$.
8. $225^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{4}=225^\circ$.
9. $135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
10. $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=45^\circ+360^\circ k$ או $x=135^\circ+360^\circ k$.
11. $-\sqrt{3}$ — $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$ נמצא ברביע הרביעי, וזווית הייחוס שלו היא $360^\circ-300^\circ=60^\circ$. ברביע הרביעי הסינוס שלילי והקוסינוס חיובי: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sin(5\pi/3)}{\cos(5\pi/3)}=\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}=-\sqrt{3}$.
12. $0$ — הערך $\sin(0^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
13. $30^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{6}=30^\circ$.
14. $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. מכיוון ש-$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, זווית העזר היא $30^\circ$; מכיוון שהערך הנתון שלילי ($\sin x=-\frac{1}{2}$), בוחרים $\alpha=-30^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
15. $x=90^\circ+180^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+180^\circ k$.