15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.מהו שטח משולש עם $a = 4, b = 4, C = 9 0^{\circ}$ ?
(א) $82$
(ב) $16$
(ג) $8$ ✓
(ד) $4$
2.השלימו את הזהות: $cos (α - β) = ?$
(א) $cos α cos β + sin α sin β$ ✓
(ב) $sin α cos β - cos α sin β$
(ג) $cos α cos β - sin α sin β$
(ד) $sin α cos β + cos α sin β$
3.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{3 π}{4}$ רדיאנים?
(א) $4 5^{\circ}$
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $3 0^{\circ}$
(ד) $13 5^{\circ}$ ✓
4.מהו $cos (\frac{5 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{3}{2}$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
5.מהי המשרעת (אמפליטודה) של $y = 3 sin x$ ?
(א) $\frac{1}{3}$
(ב) $3$ ✓
(ג) $6$
(ד) $1$
6.כמה מעלות שווה הזווית $2 π$ רדיאנים?
(א) $3 0^{\circ}$
(ב) $4 5^{\circ}$
(ג) $36 0^{\circ}$ ✓
(ד) $6 0^{\circ}$
7.מהי התקופה של $y = cos (3 x)$ (במעלות)?
y = \cos(3x)
(א) $9 0^{\circ}$
(ב) $12 0^{\circ}$ ✓
(ג) $18 0^{\circ}$
(ד) $36 0^{\circ}$
8.כמה מעלות שווה הזווית $π$ רדיאנים?
(א) $18 0^{\circ}$ ✓
(ב) $4 5^{\circ}$
(ג) $6 0^{\circ}$
(ד) $3 0^{\circ}$
9.מהו $tan (18 0^{\circ})$ ?
(א) $0$ ✓
(ב) $3$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $1$
10.מהו התחום (טווח הערכים) של $y = sin x$ ?
(א) $0 \leq y \leq 1$
(ב) $- 1 \leq y \leq 1$ ✓
(ג) $y \geq 0$
(ד) $- 2 \leq y \leq 2$
11.השלימו את הזהות: $sin (9 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $cos α$ ✓
(ב) $tan α$
(ג) $sin α$
(ד) $- cos α$
12.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{12}$ רדיאנים?
(א) $4 5^{\circ}$
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $1 5^{\circ}$ ✓
(ד) $3 0^{\circ}$
13.נתון $sin α = \frac{5}{13}, cos α = \frac{12}{13}$ . מהו $cos (2 α)$ ?
(א) $\frac{144}{169}$
(ב) $- \frac{119}{169}$
(ג) $\frac{119}{169}$ ✓
(ד) $\frac{120}{169}$
14.מהו $cos (27 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $0$ ✓
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$
15.מהו $sin (13 5^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$ ✓
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{3}{2}$

מפתח תשובות

$8$ — $S=\frac12\cdot4\cdot4\cdot\sin90^\circ=8\cdot1=8$.
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — אפשר לגזור את נוסחת ההפרש לקוסינוס מנוסחת הסכום: $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$. מכיוון ש-$\cos$ זוגית ($\cos(-\beta)=\cos\beta$) ו-$\sin$ אי-זוגית ($\sin(-\beta)=-\sin\beta$), מקבלים $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cdot(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
$135^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{3\pi}{4}=135^\circ$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
$360^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $2\pi=360^\circ$.
$120^\circ$ — התקופה היא $\frac{360^\circ}{3}=120^\circ$.
$180^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\pi=180^\circ$.
$0$ — מתקיים $\tan(180^\circ)=\frac{\sin(180^\circ)}{\cos(180^\circ)}=0$.
$-1\le y\le 1$ — סינוס מקבל ערכים בין $-1$ ל-$1$.
$\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$15^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{12}=15^\circ$.
$\frac{119}{169}$ — לפי נוסחת הזווית הכפולה: $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144-25}{169}=\frac{119}{169}$.
$0$ — הערך $\cos(270^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'