15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.נתון $cos α = - \frac{3}{5}$ ו- $α$ ברביע שני. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{3}{5}$
(ב) $\frac{4}{5}$ ✓
(ג) $- \frac{3}{5}$
(ד) $- \frac{4}{5}$
2.פתרו את המשוואה $cos x = - \frac{1}{2}$ (פתרון כללי).
(א) $x = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ב) $x = \pm 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
(ג) $x = \pm 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = \pm 12 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
3.השלימו את הזהות: $cos (- α) = ?$
(א) $- cos α$
(ב) $sin α$
(ג) $cos α$ ✓
(ד) $- sin α$
4.מהו $tan (24 0^{\circ})$ ?
(א) $3$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $1$
5.השלימו את הזהות: $2 sin α cos α = ?$
(א) $2 sin α$
(ב) $cos (2 α)$
(ג) $tan (2 α)$
(ד) $sin (2 α)$ ✓
6.השלימו את הזהות: $sin (9 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $cos α$ ✓
(ב) $tan α$
(ג) $sin α$
(ד) $- cos α$
7.כמה מעלות שווה הזווית $\frac{π}{2}$ רדיאנים?
(א) $9 0^{\circ}$ ✓
(ב) $6 0^{\circ}$
(ג) $4 5^{\circ}$
(ד) $3 0^{\circ}$
8.השלימו את הזהות: $cos (α - β) = ?$
(א) $cos α cos β + sin α sin β$ ✓
(ב) $sin α cos β - cos α sin β$
(ג) $cos α cos β - sin α sin β$
(ד) $sin α cos β + cos α sin β$
9.השלימו את הזהות: $sin^{2} α + cos^{2} α = ?$
(א) $1$ ✓
(ב) $sin 2 α$
(ג) $2$
(ד) $0$
10.מהו $sin (18 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $0$ ✓
(ד) $\frac{3}{2}$
11.כמה רדיאנים שווה הזווית $12 0^{\circ}$ ?
(א) $\frac{π}{6}$
(ב) $\frac{π}{3}$
(ג) $\frac{π}{4}$
(ד) $\frac{2 π}{3}$ ✓
12.מהי התקופה של הפונקציה $y = cos x$ (במעלות)?
(א) $18 0^{\circ}$
(ב) $36 0^{\circ}$ ✓
(ג) $9 0^{\circ}$
(ד) $27 0^{\circ}$
13.מהו $sin (24 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $- \frac{3}{2}$ ✓
14.מהו $cos (13 5^{\circ})$ ?
(א) $- \frac{2}{2}$ ✓
(ב) $0$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $\frac{2}{2}$
15.השלימו את הזהות: $cos (18 0^{\circ} - α) = ?$
(א) $- cos α$ ✓
(ב) $cos α$
(ג) $- sin α$
(ד) $sin α$

מפתח תשובות

$\frac{4}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע שני. לכן $\sin\alpha=\frac{4}{5}$.
$x=\pm120^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\cos x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\pm\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=\pm120^\circ+360^\circ k$.
$\cos\alpha$ — $\cos$ היא פונקציה זוגית. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$\sqrt{3}$ — $240^\circ = 180^\circ + 60^\circ$ נמצא ברביע השלישי. לכן $\sin(240^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ וכן $\cos(240^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\dfrac{1}{2}$. מכאן: $\tan(240^\circ) = \dfrac{\sin(240^\circ)}{\cos(240^\circ)} = \dfrac{-\tfrac{\sqrt{3}}{2}}{-\tfrac{1}{2}} = \sqrt{3}$. ברביע השלישי הטנגנס חיובי — גם הסינוס וגם הקוסינוס שליליים, ולכן המנה חיובית.
$\sin(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לסינוס בכיוון ההפוך. לכן התשובה היא $\sin(2\alpha)$.
$\cos\alpha$ — זהות הזוויות המשלימות. לכן התשובה היא $\cos\alpha$.
$90^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{\pi}{2}=90^\circ$.
$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ — אפשר לגזור את נוסחת ההפרש לקוסינוס מנוסחת הסכום: $\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha+(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$. מכיוון ש-$\cos$ זוגית ($\cos(-\beta)=\cos\beta$) ו-$\sin$ אי-זוגית ($\sin(-\beta)=-\sin\beta$), מקבלים $\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\cdot(-\sin\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$.
$1$ — זוהי זהות היסוד הטריגונומטרית. לכן התשובה היא $1$.
$0$ — הערך $\sin(180^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{2\pi}{3}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $120^\circ=120\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{2\pi}{3}$.
$360^\circ$ — התקופה הבסיסית של קוסינוס היא $360^\circ$.
$-\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(240^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — הערך $\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'