📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מפתח תשובות

1. $150^\circ$ — ממירים לפי $\pi=180^\circ$: $\frac{5\pi}{6}=150^\circ$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
3. $\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
4. $\cos(2\alpha)$ — זוהי נוסחת הזווית הכפולה לקוסינוס. לכן התשובה היא $\cos(2\alpha)$.
5. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
6. $-\sin\alpha$ — גרף הסינוס אנטי-סימטרי סביב הראשית (סימטרי סביב נקודה, לא סביב ציר ה-$y$) — כלומר $\sin$ היא פונקציה אי-זוגית, ולפי הגדרת פונקציה אי-זוגית מתקיים $f(-\alpha)=-f(\alpha)$ לכל $\alpha$. לכן $\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$.
7. $-\tan\alpha$ — $\tan$ היא פונקציה אי-זוגית. לכן התשובה היא $-\tan\alpha$.
8. $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. מכיוון ש-$\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}$, זווית העזר היא $30^\circ$; מכיוון שהערך הנתון שלילי ($\sin x=-\frac{1}{2}$), בוחרים $\alpha=-30^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=-30^\circ+360^\circ k$ או $x=210^\circ+360^\circ k$.
9. $\frac{5\pi}{4}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{4}$.
10. $-\cos\alpha$ — ברביע השני הקוסינוס שלילי. לכן התשובה היא $-\cos\alpha$.
11. $-\frac{3}{5}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע רביעי. לכן $\sin\alpha=-\frac{3}{5}$.
12. $-\sqrt{3}$ — $\frac{5\pi}{3}=300^\circ$ נמצא ברביע הרביעי, וזווית הייחוס שלו היא $360^\circ-300^\circ=60^\circ$. ברביע הרביעי הסינוס שלילי והקוסינוס חיובי: $\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\sin(60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}$. לכן $\tan\left(\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sin(5\pi/3)}{\cos(5\pi/3)}=\frac{-\sqrt{3}/2}{1/2}=-\sqrt{3}$.
13. $\frac{\pi}{6}$ — ממירים לפי $180^\circ=\pi$ רדיאנים: $30^\circ=30\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{6}$.
14. $x=180^\circ k$ — למשוואה $\tan x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+180^\circ k$, כי לטנגנס תקופה של $180^\circ$. לכן הפתרון הוא $x=180^\circ k$.
15. $-\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(120^\circ)=\frac{\sin(120^\circ)}{\cos(120^\circ)}=-\sqrt{3}$.