15 שאלות טריגונומטריה מתקדמת לבגרות 5 יח"ל: זהויות סכום והפרש, זווית כפולה, משוואות מורכבות וחוקי סינוס/קוסינוס.

📐 תרגול טריגונומטריה מתקדמת — בגרות 5 יח"ל

מתמטיקה · כיתה י"א · 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'

GeekHerowww.geekhero.co.il

טריגונומטריה מתקדמת ב-5 יח"ל מרחיבה את הנושא הרבה מעבר לרמת 4 היחידות, ומשלבת זהויות מתוחכמות עם פתרון משוואות במעגל היחידה. דף תרגול טריגונומטריה זה כולל 15 שאלות מודרגות ברמת 5 יח"ל: זהויות הסכום וההפרש sin(α±β) ו-cos(α±β); זהויות הזווית הכפולה sin2x=2sinxcosx ו-cos2x=cos²x−sin²x; פישוט ביטויים טריגונומטריים מורכבים; פתרון משוואות טריגונומטריות הדורשות שימוש בזהויות לפני הפתרון, כולל פתרון כללי במעגל היחידה; חוק הסינוסים וחוק הקוסינוסים בבעיות משולש מורכבות; ובעיות יישומיות מתקדמות. השאלות בסגנון שאלוני 5 יח"ל ומדגישות את הצעד הקריטי — בחירת הזהות הנכונה. זמן מומלץ: כ-70 דקות.

1.השלימו את הזהות: $\frac{s i n α}{c o s α} = ?$
(א) $cot α$
(ב) $sin α cos α$
(ג) $1$
(ד) $tan α$ ✓
2.מצאו את כל פתרונות המשוואה $sin x = 0$ בתחום $0^{\circ} \leq x < 36 0^{\circ}$ .
(א) $x = 0^{\circ}, x = 18 0^{\circ}$ ✓
(ב) $x = 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ}$
(ג) $x = 18 0^{\circ}, x = 36 0^{\circ}$
(ד) $x = 9 0^{\circ}, x = 27 0^{\circ}$
3.פתרו את המשוואה $sin x = 1$ (פתרון כללי).
(א) $x = 9 0^{\circ} + 18 0^{\circ} k$
(ב) $x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ג) $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ או $x = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$
(ד) $x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} k$ ✓
4.מהו הערך המקסימלי של $y = 2 sin x + 1$ ?
(א) $3$ ✓
(ב) $2$
(ג) $1$
(ד) $- 1$
5.מהו $cos (\frac{3 π}{2})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{1}{2}$
(ד) $0$ ✓
6.מהי המשרעת (אמפליטודה) של $y = 3 sin x$ ?
(א) $\frac{1}{3}$
(ב) $3$ ✓
(ג) $6$
(ד) $1$
7.השלימו את הזהות: $1 - sin^{2} α = ?$
(א) $cos^{2} α$ ✓
(ב) $tan^{2} α$
(ג) $sin^{2} α$
(ד) $1$
8.מהו $tan (\frac{11 π}{6})$ ?
(א) $- \frac{3}{3}$ ✓
(ב) $1$
(ג) $\frac{3}{3}$
(ד) $0$
9.מהו $sin (12 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{3}{2}$ ✓
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $0$
10.מהו $cos (12 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{1}{2}$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $- \frac{1}{2}$ ✓
11.מהו $sin (\frac{7 π}{6})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $0$
(ג) $\frac{2}{2}$
(ד) $- \frac{1}{2}$ ✓
12.מהו $tan (6 0^{\circ})$ ?
(א) $0$
(ב) $\frac{3}{3}$
(ג) $1$
(ד) $3$ ✓
13.נתון $cos α = \frac{12}{13}$ ו- $α$ ברביע ראשון. מהו $sin α$ ?
(א) $\frac{12}{13}$
(ב) $\frac{5}{13}$ ✓
(ג) $\frac{13}{5}$
(ד) $- \frac{5}{13}$
14.מהו $cos (9 0^{\circ})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{2}{2}$
(ג) $\frac{3}{2}$
(ד) $0$ ✓
15.מהו $sin (\frac{π}{3})$ ?
(א) $\frac{1}{2}$
(ב) $\frac{3}{2}$ ✓
(ג) $0$
(ד) $\frac{2}{2}$

מפתח תשובות

$\tan\alpha$ — זוהי הגדרת הטנגנס. לכן התשובה היא $\tan\alpha$.
$x=0^\circ,\ x=180^\circ$ — מוצאים את הפתרון הכללי ובוחרים מתוכו את הערכים שנמצאים בתחום $0^\circ\le x<360^\circ$. הפתרונות הם $x=0^\circ,\ x=180^\circ$.
$x=90^\circ+360^\circ k$ — למשוואה $\sin x=a$ הפתרון הכללי הוא $x=\alpha+360^\circ k$ או $x=180^\circ-\alpha+360^\circ k$, כאשר $\alpha$ היא זווית עזר. לכן הפתרון הוא $x=90^\circ+360^\circ k$.
$3$ — המקסימום מתקבל כש-$\sin x=1$: $2\cdot1+1=3$.
$0$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0$.
$3$ — המשרעת היא הערך המוחלט של המקדם, $3$.
$\cos^2\alpha$ — נובע מ-$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$. לכן התשובה היא $\cos^2\alpha$.
$-\frac{\sqrt{3}}{3}$ — מתקיים $\tan\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\frac{\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)}{\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — הערך $\sin(120^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$y$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\frac{1}{2}$ — הערך $\cos(120^\circ)=-\frac{1}{2}$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$-\frac{1}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$.
$\sqrt{3}$ — מתקיים $\tan(60^\circ)=\frac{\sin(60^\circ)}{\cos(60^\circ)}=\sqrt{3}$.
$\frac{5}{13}$ — לפי זהות היסוד $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ מקבלים את הערך המוחלט, והסימן נקבע לפי הרביע ראשון. לכן $\sin\alpha=\frac{5}{13}$.
$0$ — הערך $\cos(90^\circ)=0$ נקבע לפי מעגל היחידה — שיעור ה-$x$ של הנקודה המתאימה לזווית.
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ — ממירים את הזווית למעלות ומשתמשים במעגל היחידה: $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

מה כלול בדף העבודה הזה?

דף העבודה כולל 15 שאלות שנבחרו ידנית מתוך מאגר GeekHero — הנושא המרכזי שמכוסים: היכל הטריגונומטריה. הדף מותאם לתלמידי כיתה י"א · 5 יח"ל ולוקח כ-30 דקות לפתרון מלא. הדף בנוי לתרגול עצמאי של התלמיד, עם פתרונות מלאים בסוף שמאפשרים בדיקה עצמית.

איך להשתמש בדף בצורה אפקטיבית

הדפיסו או פתחו את הדף — שני המסלולים זמינים. ההדפסה במתכונת A4, ההצגה במסך מותאמת למובייל וטאבלט.
פתרו את כל ה-15 שאלות בלי לבדוק תשובות — הזמן המומלץ הוא ~30 דקות, אך אין לחץ זמן.
בדקו תשובות — לחצו על "👁️ הצג פתרונות" או הדפיסו את עמוד הפתרונות בנפרד.
חזרו על השאלות שטעיתם בהן — דרך אפקטיבית פי שתיים מלפתור 15 שאלות נוספות חדשות.
כפתור "🔄 שאלות חדשות" — מייצר דף חדש לגמרי באותו נושא, כך שאפשר לתרגל שוב ושוב בלי לחזור על השאלות.

למה הדף הזה עוזר?

דפי העבודה ב-GeekHero בנויים עם שאלות מודרגות לפי קושי ופיזור אקראי של תשובות נכונות (לא תמיד "א'") — מה שמכריח את התלמיד באמת לחשוב על כל שאלה, ולא לנחש לפי דפוס. כל ה-15 השאלות נבחרות מתוך מאגר של 218,000+ שאלות שעובר בקרת איכות שוטפת. הפתרונות כוללים הסבר שלב-שלב, לא רק תשובה — כדי שמי שטעה יבין למה.

דפי עבודה דומים שכדאי לבדוק

📐 תרגול טריגונומטריה — בגרות 4 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'
📈 תרגול חדו"א מתקדם — בגרות 5 יח"ל · 15 שאלות · ~30 דק'